Тригонометричні рівняння, які зводяться до квадратних

На практиці часто зустрічаються тригонометричні рівняння, які містять у собі тригонометричні функції в різних степенях або різні тригонометричні функції одного й того самого аргументу. Спеціального алгоритму розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. Але більшість тригонометричних рівнянь зводяться до найпростіших шляхом тотожних перетворень виразів. Серед них є такі, що зводяться до найпростіших, розв’язуванням квадратних рівнянь відносно тригонометричних функцій.
Приклад 1. Розв’яжемо рівняння 

Уведемо нову змінну . Тоді дане рівняння можна записати у вигляді . Ми дістали квадратне рівняння, корені якого  і. Отже, , або . У першому випадку матимемо розв’язки  , тобто . У другому випадку 

Якщо в рівняння входить лише sin x і cos x, причому хоча б одна з функцій тільки у парних степенях (наприклад, sin x), то застосовуємо формулу sin² х = 1 - cos² х з подальшою заміною cos х = t. Аналогічно застосовуємо формулу cos² х = 1 - sin² х, якщоcos х входить у рівняння лише у парних степенях.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Оскільки  то маємо

Робимо заміну  Маємо

Другий корінь не задовольняє рівняння, оскільки |t| ≤ 1.

Отже, 

Якщо в тригонометричне рівняння входять лише cos 2х і cos x, то застосовуємо формулуcos 2х = 2 cos² х - 1 і вводимо заміну cos х = t.

Якщо в тригонометричне рівняння входять лише cos 2x і sin х, то застосовуємо формулуcos 2х = 1 – 2 sin² x і вводимо заміну sinx = t.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Маємо  заміна 

Рівняння  має корені  з яких лише перший задовольняє умову |t| ≤ 1. Отже,