пятница, 14 февраля 2014 г.

Історія тригонометрії

Історія тригонометрії, як науки про співвідношення між кутами і сторонами трикутника та інших геометричних фігур, охоплює більше двох тисячоліть. Більшість таких співвідношень неможливо виразити за допомогою звичайних алгебричних операцій, і тому знадобилось ввести особливітригонометричні функції, які спершу оформлювали у вигляді таблиць.
Історики вважають, що тригонометрію створили стародавні астрономи, трохи пізніше її почали використовувати в геодезії й архітектурі. З часом сфера застосування тригонометрії постійно розширювалась, в теперішній час до неї відносяться майже всі природничі науки, техніка і низка інших галузей діяльності[1]. Тригонометричні функції виявились особливо корисними при вивченні коливних процесів; на них також заснований гармонічний аналіз функцій та інші інструментианалізуТомас Пейн у своїй книзі «Доба Розуму» (1794) назвав тригонометрію «душею науки»

Геодезичні вимірювання (XVII сторіччя)

Файл:Hipparchos 1.jpeg

Гіппарх Нікейський, можливий автор перших тригонометричних таблиць


Визначення тригонометричних функцій у середньовічній математиці

Важливий внесок в розвиток тригонометрії зробив Брахмагупта (VII століття), який відкрив декілька тригонометричних співвідношень, зокрема й ті, що в сучасному запису набули вигляду
\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1
\sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha )
Фундаментальне викладення тригонометрії як самостійної науки (як плоскої, так і сферичної) навів персидський математик і астрономНасир ад-Дін ат-Тусі у 1260 році
Файл:Al-Tusi Nasir.jpeg
Насир ад-Дін ат-Тусі
Таким чином, до кінця XIII століття були відкриті базові теореми, що складають зміст тригонометрії:
  • Вираження будь-якої тригонометричної функції через будь-яку іншу.
  • Формули для синусів і косинусів кратних і половинних кутів, а також для суми і різниці кутів.
  • Теореми синусів і косинусів.
  • Вирішення плоских і сферичних трикутників.
Через відсутність алгебричної символіки всі перераховані теореми виражались у громіздкій словесній формі, але по суті були повністю еквівалентними їх сучасному розумінню.
Розвиток тригонометрії у Новий час став надзвичайно важливим не тільки для астрономії та астрології, але й для інших галузей, в першу чергу артилерії, оптики і навігації у далеких морських подорожах. Тому після XVI століття цією темою займалися багато видатних вчених, в тому числі Миколай КоперникЙоганн КеплерФрансуа Вієт.Коперник присвятив тригонометрії дві глави у своєму трактаті «Про обертання небесних сфер» (1543). Незабаром (1551) з'явились 15-значні тригонометричні таблиці Ретика, учня Коперника, з кроком 10"[61]. Кеплер опублікував працю «Оптична частина астрономії» (1604).
Окрім артилерії і навігації, тригонометрія розвивалась швидкими темпами і в таких класичних сферах її застосування, як геодезія. Широке застосування тангенсів пояснювалось, зокрема, простотою вимірювання за їх допомогою висоти гори чи будівлі (див. малюнок):
h={\frac  {\operatorname {tg}\alpha \ \operatorname {tg}\beta }{\operatorname {tg}\beta -\operatorname {tg}\alpha }}\,l          
Файл:Mountain height by triangulation.png
Вимірювання висоти

Сучасного вигляду тригонометрії надав Леонард Ейлер
На початку XIX століття М. І. Лобачевський додав до плоскої і сферичної тригонометрії третій розділ — гіперболічну
У XIX–XX століттях стрімкого розвитку набули теорія тригонометричних рядів і пов'язані з нею області математики: гармонічний аналізтеорія випадкових процесів,кодування аудіо і відеоінформації та інші.
Таким чином, тригонометрія, яка виникла як наука про розв’я­зання трикутників, з часом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.
Пізніше частину тригонометрії, яка вивчає властивості тригоно­метричних функцій і залежності між ними, почали називати гоніомет­рією (наука про вимірювання кутів). Термін гоніометрія тепер мало вживається.
В останні роки вивчення властивостей тригонометричних функцій і залежностей між ними віднесли до шкільного курсу алгебри, а роз­в’язання трикутників — до курсу геометрії.

понедельник, 10 февраля 2014 г.

10 лютого 2014 р

Сьогодні ми розпочали роботу над проектом "Тригонометричні рівняння"

Ключове питання: Для чого потрібно вміти розв'язувати тригонометричні рівняння?
Проблемне питання: Які методи та прийоми потрібно знати для розв'язування тригонометричних рівнянь?
Навчальні питання: Що таке найпростіше тригонометричне рівняння? Які методи і формули їх розв'язування?
Тригонометричні рівняння, які зводяться до квадратних? Способи розв'язування.
Які рівняння  називаються однорідними першого та другого степеня? Методи їх розв'язування.

Для реалізації проекта ми розділилися на 3 групи.

1 група
Мета роботи: вивчити  розв'язання простіших тригонометричних рівнянь з різними аргументами.
Задачі дослідження: повторити основні фоормули розв'язання простіших тригонометричних рівнянь ; зібрати та проаналізувати приклади розв'язання простіших тригонометричних рівнянь з аргументами у вигляді суми або добутків виразів, які містять Х.

2 група
Мета роботи: провести дослідження по  розв'язуванню простіших тригонометричних рівнянь введенням нової змінної.
Задачі дослідження: зібрати та проаналізувати приклади  розв'язування тригонометричних рівнянь введенням нової змінної; дослідити розв'язування тригонометричних рівнянь  з параметром.

3 група
Мета роботи: провести дослідження по  розв'язуванню однорідних рівнянь.
Задачі дослідження: з'ясувати особливости однорідних  тригонометричних рівнянь першого та другого степенів;  зібрати та проаналізувати приклади  розв'язування однорідних тригонометричних  рівнянь.